Fonctions rationnelles avec Xcas

Voici comment on peut résoudre un exercice classique sur les fonctions rationnelles.

Enoncé


Soit la fonction $f$ définie sur $]1~;~+\infty[$ par $f(x)=\dfracx^2-5x-3x-1$.

1) Déterminer $a$, $b$ et $c$ tels que $f(x)=ax+b+\dfraccx-1$.

2) Montrer que la courbe $(\cal C_f)$ admet une asymptote oblique $(d)$ en $+\infty$ que l’on précisera.

Résolution à l’aide de Xcas




f:=(x^2-5x-3)/(x-1);

$$\dfracx^2-5 \cdot x-3x-1$$

1) Déterminer $a$, $b$ et $c$ tels que $f(x)=ax+b+\dfraccx-1$.

Effectuons la division euclidienne de $x^2-5x-3$ par $x-1$.



divide(x^2-5x-3,x-1)

$$\left[ x-4 \quad -7 \right] $$

D´où

$$f(x)=x-4-\dfrac7x-11$$

Autre méthode :



propFrac(f)

$$\leftx-4+\dfrac7-x+1 $$

2) Montrer que la courbe $(\cal C_f)$ admet une asymptote oblique $(d)$ en $+\infty$ que l’on précisera.



h:=-7/(x-1)

$$\dfrac-7x-1$$



limite(h,x,infinity)

$$O$$


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