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Les suites récurrentes avec Xcas

Voici comment on peut résoudre un exercice classique sur les suites.

Enoncé

Soit la suite $\left(U_n \right)_(n \in \N)$ définie par :

$$U_0=-1 \qquad \textrmet \qquad U_n+1=\dfrac14 U_n+3.$$

1) Calculer $U_1$, $U_2$ et $U_3$.

2) On considère un repère orthonormal. Tracer dans ce repère la droite (D) d’équation $y = 0,25x + 3$ et la droite ($\Delta$) d’équation $y = x$, pour les abscisses comprises entre 0 et 5.

Placer $U_0$ sur l’axe des abscisses. Utiliser les droites précédentes pour placer sur l’axe des abscisses les valeurs $U_1,~ U_2$, $U_3$, $U_4$ et $U_5$.

3) Calculer $S=U_0+U_1+ \cdots + U_10$.

Résolution à l’aide de Xcas



u(n):=
si n==0 alors uo;
sinon a*u(n-1)+b;
fsi

:;

// Parsing u
// Warning: a b u uo declared as global variable(s) compiling u
u: recursive definition



a:=0.25

$$0.25$$



b:=3

$$3$$



uo:=-1

$$-1$$

1) Calculer $U_1$, $U_2$ et $U_3$.



u(1)

$$2.75$$



u(2)

$$3.6875$$



u(3)

$$3.921875$$

2) On considère un repère orthonormal. Tracer dans ce repère la droite (D) d’équation $y = 0,25x + 3$ et la droite ($\Delta$) d’équation $y = x$, pour les abscisses comprises entre 0 et 5.

Placer $U_0$ sur l’axe des abscisses. Utiliser les droites précédentes pour placer sur l’axe des abscisses les valeurs $U_1,~ U_2$, $U_3$, $U_4$ et $U_5$.



graphe_suite(a*x+b,uo,5)

session.jpg

3) Calculer $S=U_0+U_1+ \cdots + U_10$.



s(n):=
local S,j;
S:=uo;
si n==0 alors S;
sinon
pour j de 1 jusque n pas 1 faire
S:=S+u(j);
fpour
fsi

:;

// Parsing s
// Warning: uo u declared as global variable(s) compiling s



s(10)

$$37.3333349228$$